Volumen de un Sólido en Revolución

Primero debemos tener claro lo que es un volumen para luego hacernos una idea de como calcularlos en el calculo integral. 

Volumen: Es una magnitud definida como el espacio ocupado por un cuerpo. También se define como una función derivada ya que se halla multiplicando las tres dimensiones.

" En matemáticas el Volumen se define como los demás conceptos matemáticos a partir de una distancia o tensor métrico."

Sólido de Revolución: Se denomina sólido de revolución o volumen de revolución al sólido obtenido al rotar una región del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo, las cuales pueden o no cruzarse. Dicha recta se denomina Eje de Revolución.

Métodos para calcular el Volumen de un Sólido en Revolución 

* Método de Discos: Para hallar el volumen de un sólido en revolución dividimos el sólido en rectángulos cuyo eje de revolución es el eje "X". La revolución de un rectángulo da lugar a un disco, por lo tanto este método divide el sólido en discos de ancho de cada rectángulo. Calculamos el área de cada disco (región plana circular) con la fórmula área de un circulo. Para calcular el volumen multiplicamos el área de la región circular por el ancho del rectángulo que lo forma. 

                                                        

                                                             Ejemplo

* Método de Arandelas: Este se basa en el método anterior llamado " método de discos" pero en este caso se utilizan dos discos. El disco mas pequeño es vació por tanto se le da el nombre de "arandela" ya que forma una especie de sólido hueco. En términos generales este método se usa cuando el eje de rotación se encuentra a una distancia de la función que formara el sólido. Este espacio entre el eje y la función crea un hueco en el sólido, por esto mismo se necesita restar el área del hueco al sólido en revolución. 

Es muy importante tener claro que en este método se utilizan dos radios por lo tanto, dos discos diferentes pero siempre el ancho del disco es  y dependiendo del eje de rotación.

 Ejemplo

* Método de Anillos: Este método se utiliza cuando cuando se tienen dos funciones a graficar y estas forman un sólido hueco, al rotarlo se obtiene un disco que tiene forma de anillo.

Para hallar el volumen de de este sólido se usa 

Donde "h" es la altura, "R" es el radio externo o mayor y "r" es el radio interno o menor, con esto usamos la integral para hallar el volumen.

 

                                                
                                                              Ejemplo

* Método de capas cilíndricas: Este método se usa para hallar volúmenes de sólidos cuando se tiene una función que al rotarla produce un solido hueco, pero al querer usar el método de anillos se cuenta con un radio y al sacar un anillo se obtiene un cilindro.

Así se obtiene la integral para hallar el volumen 

 Ejemplo

Ejercicios Propuestos

A continuación se presentan algunos vídeos donde se explican algunos ejercicios en los cuales se utilizan los diferentes métodos para calcular el volumen de un sólido en revolución. 

1) Método de Discos

                                   

2) Método de Arandelas

3) Método de Anillos

4) Método de Capas Cilíndricas 

Aplicación en la Ingeniería Mecánica

Este tipo de sólidos puede aparecer frecuentemente en la ingeniería y en procesos de producción como lo son los procesos de mecanizado, tales como el torneado donde se utiliza mucho el concepto de volumen por revolución. son ejemplos de sólidos en revolución: ejes, botellas, pilares, embudos y émbolos.

Se denomina Torno a un conjunto de maquinas y herramientas que permiten mecanizar, cilindrar, cortar y ranurar piezas de forma geométrica por revolución. Estas máquinas operan haciendo girar las piezas a mecanizar ( sujeta en el cabezal o fijada entre los puntos de centraje) mientras una o varias herramientas de corte son empujadas en un movimiento regulado de avance contra la superficie de la pieza, cortando la viruta de acuerdo con la condiciones tecnológicas de mecanizado adecuado. Desde el inicio de la revolución industrial, el torno se ha convertido en una máquina básica en el proceso industrial de mecanizado. 

Conclusión

Cuando un sólido rota una región del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo se denomina sólido en revolución. El objeto de estudio es el volumen obtenido. Existen distintos métodos para calcularlos, estos son: método de discos, método de arandelas, método de anillos y el método de capas cilíndricas, todos deben sus nombres a la figura obtenida al desarrollar el ejercicio, además estos guardan cierta similitud pero en definitiva su aplicación dependerá del ejercicio planteado.

Para saber que método aplicar debemos se debe tomar en cuenta que si se tienen dos funciones se debe utilizar el método de anillos, mientras que al tener una sola se puede utilizar tanto el método de discos como el de arandelas pero esto dependerá ya que si se obtienen dos discos y uno de ellos es hueco se aplica el método de arandelas. También se tiene el método de capas cilíndricas el cual resulta cuando se intenta resolver un ejercicio por el método de anillos pero al ir desarrollando se obtiene un radio y al querer sacar un anillo se obtiene un cilindro.

Ejercicios Propuestos

1-) Hallar el volumen del solido obtenido al hacer girar alrededor del eje x la región bajo la curva: y = √x, de 0 a 1.

2-) Encuentre el volumen del solido obtenido al girar la región encerrada por las curvas y= x   y   y= x² en torno al eje x.

3-) La región entre las curvas y= x , y= 1, y= 3 . Se gira alrededor del eje x=5 generando un sólido. Hallar el volumen en revolución.

4-) Hallar el volumen de un sólido que resulta de girar, alrededor del eje Y, la región limitada por por f(x) = 2x  y g(x) = x^2.

5-) Calcule el volumen del sólido que se forma al girar la región R formada por las curvas y = x^3 , y = 8 y  x=0 , alrededor del eje Y.

6-) La región entre las curvas y = x^2  y  y=1 . Se gira alrededor del eje x=2 generando un sólido de revolución. Hallar el volumen del sólido. 

7-) Hallar el volumen de un sólido de revolución que se obtiene al girar alrededor del eje Y, la región encerrada por las curvas y = 3x^2 , y = 16-x^2  y las rectas x=1 , x=2.

8-) Hallar el volumen del sólido obtenido al hacer girar alrededor del eje X la región limitada por las curvas y = 2-x^2 y y=1.

9-)  Hallar el volumen del sólido de revolución que se obtiene al girar alrededor del eje Y, la región encerrada por las curvas x^2=2x   y  y = x^3-3x+4  y las rectas x=0 , x=2.

10-) Hallar del sólido de revolución que se obtiene al girar alrededor del eje Y la región limitada por las funciones f(x)= x^2  y g(x)= raíz cuadrada de X.

" ESPERAMOS QUE LES HAYA SIDO DE MUCHA UTILIDAD TODA LA INFORMACIÓN PRESENTADA , MUCHAS GRACIAS!! "